SOLUCIONES BÁSICAS DE LAS ECUACIONES DE FRIEDMANN
Las ecuaciones de Friedmann son el corazón del modelo del Big Bang. Describen cómo el factor de escala a(t) (que representa el tamaño relativo del universo) evoluciona con el tiempo.
Para un universo plano (la curvatura espacial total es cero, k=0), las ecuaciones de Friedmann se simplifican considerablemente. Vamos a ver las dos soluciones que pides, que son los casos clásicos de los universos de Einstein-de Sitter (materia) y de radiación.
Primero, recordemos la primera ecuación de Friedmann para un universo plano:
$$\left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8\pi G}{3} \rho$$
donde ȧ es la derivada temporal de a (la velocidad de expansión), G es la constante de gravitación universal, y ρ es la densidad de energía del universo. La clave es que ρ cambia con a de manera diferente según lo que domine: materia o radiación.
1. Universo Plano Dominado por Radiación
En un universo dominado por
radiación (fotones y partículas relativistas), la densidad de
energía ρ disminuye al expandirse el volumen (dilución) y además
porque la longitud de onda de la radiación se estira (corrimiento al
rojo), perdiendo energía.
La relación es:
$$\rho_{\text{rad}}(a) = \frac{\rho_{r,0}}{a^4}$$
(donde ρ0 es la densidad hoy, cuando a=1).
>Solución:
Sustituimos
en la ecuación de Friedmann:
$$\left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8\pi G}{3} \cdot \frac{\rho_{r,0}}{a^4}$$
Esto se puede reescribir como:
$$\dot{a}^2 = \frac{8\pi G \rho_{r,0}}{3} \cdot \frac{1}{a^2}$$
Sacamos raíz cuadrada (tomamos la positiva, ya que el universo se expande):
$$\dot{a} = \frac{da}{dt} = \frac{C}{a}$$
donde $$C = \sqrt{\frac{8\pi G \rho_{r,0}}{3}}$$
es una constante.
Resolvemos la ecuación diferencial $$da/dt = C/a$$
$$a \, da = C \, dt$$
Integrando:
$$\frac{a^2}{2} = C t + \text{cte.}$$
Si definimos a=0 en t=0 (el Big Bang), la constante es cero. Por lo tanto:
$$a(t) = \sqrt{2C} \cdot t^{1/2}$$
>Resultado final:
$$\boxed{a(t) \propto t^{1/2}}$$
En un universo plano dominado por radiación, el factor de escala crece como la raíz cuadrada del tiempo.
2. Universo Plano Dominado por Materia
En un universo dominado por materia no relativista (polvo), la densidad de energía simplemente se diluye con el volumen:
$$\rho_{\text{mat}}(a) = \frac{\rho_{m,0}}{a^3}$$
>Solución:
Sustituimos
en la ecuación de Friedmann:
$$\left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8\pi G}{3} \cdot \frac{\rho_{m,0}}{a^3}$$
Reescribimos:
$$\dot{a}^2 = \frac{8\pi G \rho_{m,0}}{3} \cdot \frac{1}{a}$$
O bien:
$$\dot{a} = \frac{da}{dt} = \frac{K}{\sqrt{a}}$$
donde $$K = \sqrt{\frac{8\pi G \rho_{m,0}}{3}}$$
Resolvemos:
$$\sqrt{a} \, da = K \, dt$$
Integrando:
$$\frac{2}{3} a^{3/2} = K t + \text{cte.}$$
Con a(0)=0, obtenemos:
$$a^{3/2} = \frac{3K}{2} t \quad \Rightarrow \quad a(t) = \left( \frac{3K}{2} \right)^{2/3} t^{2/3}$$
>Resultado final:
$$\boxed{a(t) \propto t^{2/3}}$$
En un universo plano dominado por materia, el factor de escala crece como t2/3.
3. Universo Plano Dominado por la Energía Oscura (Λ)
En este caso, la densidad de energía oscura, ρΛ, es constante en el tiempo y en el espacio. No se diluye cuando el universo se expande.
$$\rho_{\Lambda} = \text{constante}$$
La primera ecuación de Friedmann para un universo plano es:
Definimos la constante de Hubble (H) en este universo dominado por Λ como:
$$\left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8\pi G}{3} \rho_{\Lambda} = \text{constante}$$ $$H_{\Lambda} = \sqrt{\frac{8\pi G \rho_{\Lambda}}{3}} = \text{constante}$$
Por lo tanto, la ecuación se convierte en:
$$\frac{\dot{a}}{a} = H_{\Lambda}$$
Esta es una ecuación diferencial muy sencilla que nos dice que la tasa de expansión relativa es constante. Su solución es una exponencial:
$$\dot{a} = H_{\Lambda} a \quad \Rightarrow \quad \frac{da}{dt} = H_{\Lambda} a$$
Integrando:
$$a(t) = a_0 \, e^{H_{\Lambda} (t - t_0)}$$
O, si elegimos t0 como el momento actual y a0=1:
$$\boxed{a(t) = e^{H_{\Lambda} t}}$$
En este universo, el factor de escala crece de forma exponencial con el tiempo. Esto significa que la expansión se acelera: cuanto más grande es a, más rápido crece.
>Características de esta solución
Expansión acelerada: A diferencia de los casos de materia y radiación (donde ä<0), aquí ä>0. La gravedad repulsiva de la energía oscura vence a la atracción gravitatoria de la materia.
Horizonte de eventos: En este universo, existe una distancia máxima más allá de la cual nunca podremos recibir información, ni siquiera en un tiempo infinito. Las galaxias que estén más allá de ese horizonte se alejarán de nosotros más rápido que la luz (debido a la expansión del espacio) y sus señales nunca nos alcanzarán.
Frío y solitario: El universo se vuelve cada vez más frío y vacío a medida que las galaxias no ligadas gravitacionalmente se alejan unas de otras exponencialmente.
>Nota sobre otros tipos de energía oscura
Si la energía oscura no es una constante cosmológica, sino un campo escalar dinámico (a veces llamado quintaesencia), su ecuación de estado puede ser ω>−1 (por ejemplo, ω=−0.9).
En ese caso, la densidad de energía oscura no es constante, sino que varía lentamente con el factor de escala:
$$\rho_{\text{DE}}(a) \propto a^{-3(1+w)}$$
Si ω>−1, entonces ρDE disminuye lentamente a medida que el universo se expande (aunque mucho más lentamente que la materia o la radiación).
La ecuación de Friedmann sería $$\left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 \propto a^{-3(1+w)}$$ y la solución para a(t) sería una ley de potencia (como en los casos de materia y radiación), pero con un exponente diferente:
$$a(t) \propto t^{\frac{2}{3(1+w)}}$$
Si ω>−1 (constante cosmológica), el exponente tiende a infinito, y la solución se convierte en la exponencial que hemos visto (límite de la ley de potencia cuando el exponente diverge).
En resumen, para un universo plano dominado por energía oscura:
Caso estándar (constante cosmológica, w=−1): Crecimiento exponencial a(t)∝eHt.
Caso dinámico (quintaesencia, ω>−1): Crecimiento según una ley de potencia a(t)∝t2/(3(1+ω)), pero con un exponente mayor que en el caso de materia (lo que también implica aceleración, aunque menos agresiva).
4. La Ecuación de Friedmann durante la Inflación
Durante la inflación, se asume que el universo es plano (k=0) y que la densidad de energía está dominada por la energía potencial de un campo escalar (el "inflatón"), que actúa como una constante cosmológica efectiva. La primera ecuación de Friedmann se simplifica a:
$$\left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8\pi G}{3} \rho_{\text{vac}} = \text{constante}$$
Aquí, ρvac es la densidad de energía del vacío, que permanece constante mientras el inflatón está "atrapado" en su estado de alta energía. Dado que el lado derecho es constante, la tasa de expansión H=ȧ/a también lo es.
$$H_{\text{inf}} = \sqrt{\frac{8\pi G \rho_{\text{vac}}}{3}} = \text{constante}$$
>La Solución Exponencial
Teniendo H constante, la ecuación diferencial ȧ=Ha es trivial de resolver. Su solución es una exponencial:
$$\boxed{a(t) \propto e^{H_{\text{inf}} t}}$$
Este crecimiento exponencial es la firma inequívoca de un universo inflacionario. El espacio se expande de manera increíblemente rápida, duplicando su tamaño una y otra vez en fracciones infinitesimales de segundo.
>Comparación con la Energía Oscura
Es muy interesante notar la analogía y la diferencia con la solución que vimos para la energía oscura.
Energía Oscura (hoy): Domina el universo actual y también causa una expansión exponencial a(t)∝eHΛt. Sin embargo, su densidad de energía (ρΛ) es bajísima, por lo que su constante de Hubble (HΛ) es muy pequeña y la expansión es relativamente lenta.
Inflación (universo temprano): Domina un instante después del Big Bang y también causa una expansión exponencial
$$a(t) \propto e^{H_{\text{inf}} t}$$.
Pero su densidad de energía (ρvac) es altísima, cercana a la densidad de Planck. Por lo tanto, Hinf es enorme y la expansión es violentamente rápida.
En ambos casos, la ecuación de estado del fluido dominante es la misma: ω>−1, lo que implica una presión negativa que genera una repulsión gravitatoria.
La diferencia fundamental es la escala de energía y, por lo tanto, la magnitud de H.
>Relevancia de esta Solución
Esta solución exponencial es la clave para resolver los problemas del modelo del Big Bang estándar:
El problema del horizonte: Un crecimiento exponencial tan extremo permite que regiones que hoy están separadas por miles de millones de años luz estuvieran en contacto causal antes de la inflación.
El problema de la planitud: La expansión exponencial estira cualquier curvatura espacial inicial, haciendo que el universo sea indistinguible de un universo plano, tal como lo observamos hoy. El parámetro de densidad Ω se acerca a 1 de forma estable durante la inflación.
En resumen, la inflación propone que el universo pasó por una fase en la que la solución de las ecuaciones de Friedmann es un crecimiento exponencial del factor de escala, gobernado por una altísima densidad de energía de vacío constante.
5. Comparación
Importante:
En los casos de la radiación dominante y la materia dominante, la expansión es decelerada (ä<0). La gravedad frena la expansión.
El caso de la radiación se expande más lentamente (t1/2 vs t2/3) porque la presión de la radiación (aunque positiva) contribuye a la atracción gravitatoria en relatividad general, frenando aún más la expansión.
En los casos de la Energía Oscura dominante y de la Inflación, la expansión es acelerada (ä>0).
Nuestro universo real pasó inicialmente por una etapa extraordinariamente breve de enorme aceleración en la inflación cuando incrementó su tamaño en un factor de 1026. Después le siguió una etapa dominada por radiación (primeros ~50,000 años) y luego por una etapa dominada por materia (hasta hace unos 5 mil millones de años), después de la cual la energía oscura empezó a dominar y a acelerar la expansión.
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